Question

11．已知函數(shù)$y=\sqrt{{{log}_2}（x-1）}$的定義域為A，函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）^x（-2≤x≤0）的值域為B．
（1）求A∩B；
（2）若C={y|y≤a-1}，且B⊆C，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意函數(shù)$y=\sqrt{{{log}_2}（x-1）}$的定義域為A，函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）^x（-2≤x≤0）的值域為B，求出A，B集合．根據(jù)集合的基本運算求A∩B．
（2）由題意C={y|y≤a-1}，B⊆C，根據(jù)集合的基本運算求a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$y=\sqrt{{{log}_2}（x-1）}$的定義域滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{lo{g}_{2}（x-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥2．
由題意：A={x|x≥2}
函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）^x（-2≤x≤0）的值域為1≤y≤4．
由題意：B={x|1≤y≤4}
那么：A∩B=[2，4]；
（2）由（1）可得B={x|1≤y≤4}，
由題意C={y|y≤a-1}，
∵B⊆C，
∴a-1≥4，
解得：a≥5
所以a的取值范圍為[5，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域，值域的求法以及集合的基本運算．屬于中檔題．