Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，則a的取值范圍是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-2）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 （i）當a=0時，f（x）=-3x²+1，令f（x）=0，解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，兩個解，舍去．
（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），令f′（x）=0，解得x=0或 $\frac{2}{a}$．對a分類討論：①當a＜0時，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}＜0}\\{f（x）_{min}＞0}\end{array}\right.$；②當a＞0時，推出極值點不滿足題意，推出結(jié)果即可．

解答 解：（i）當a=0時，f（x）=-3x²+1，令f（x）=0，解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數(shù)f（x）有兩個零點，舍去．
（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），令f′（x）=0，解得x=0或$\frac{2}{a}$．
①當a＜0時，$\frac{2}{a}$＜0，當x＜$\frac{2}{a}$或x＞0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當$\frac{2}{a}$＜x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴$\frac{2}{a}$是函數(shù)f（x）的極小值點，0是函數(shù)f（x）的極大值點．
∵函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，則：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}＜0}\\{f（x）_{min}＞0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{4}{{a}^{2}}＜1}\end{array}\right.$，可得a＜-2．
②當a＞0時，$\frac{2}{a}$＞0，當x＞$\frac{2}{a}$或x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當0＜x＜$\frac{2}{a}$時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴$\frac{2}{a}$是函數(shù)f（x）的極小值點，0是函數(shù)f（x）的極大值點．不滿足函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）．
故選：C．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的零點，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．