12．若0＜x，y，z＜1，求證：x（1-y），y（1-z），z（1-x）不可能都大于$\frac{1}{4}$．

分析 利用反證法，先對結(jié)論進行否定，再利用基本不等式，推出矛盾即可．

解答 證明：假設(shè)三個式子都大于$\frac{1}{4}$，
即（1-x）y＞$\frac{1}{4}$，（1-y）z＞$\frac{1}{4}$，（1-z）x＞$\frac{1}{4}$，
三個式子相乘得：
（1-x）y•（1-y）z•（1-z）x＞$\frac{1}{{4}^{3}}$     ①
∵0＜x＜1，∴x（1-x）≤（$\frac{x+1-x}{2}$）2=$\frac{1}{4}$
同理：y（1-y）≤$\frac{1}{4}$，z（1-z）≤$\frac{1}{4}$，
∴（1-x）y•（1-y）z•（1-z）x≤$\frac{1}{{4}^{3}}$ ②
顯然①與②矛盾，所以假設(shè)是錯誤的，故原命題成立．

點評 本題考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進行否定，在此基礎(chǔ)上推出矛盾，是解題的關(guān)鍵．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．如圖所示，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，且AB=4，SA⊥平面ABCD，∠SDA=60°，E、F、G分別是SC、SD、AC上的點，且$\frac{SE}{EC}$=$\frac{SF}{FD}$=$\frac{AG}{GC}$．
（1）求證：FG∥平面SAB；
（2）若平面ABE⊥平面SCD，求多面體SABEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐S-A1B1C1和一個所有棱長都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，且該幾何體的外接球（幾何體的所有頂點都在該球面上）的表面積為7π，則三棱錐S-A1B1C1的體積為$\frac{\sqrt{21}-3}{8}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．函數(shù)f（x）=x2+ax+b，其中a∈R，b∈R且（b+4）2-a2=4，已知對任意的x∈R不等式f（x）≥-2恒成立．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+x+4，x＜f（x）}\\{f（x）-x，x≥f（x）}\end{array}\right.$，求g（x）的值域；
（3）是否存在實數(shù)m，n使得不等式m≤f（x）≤n的解集為[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

7．下列命題：
①若$α+β=\frac{7π}{4}$，則（1-tanα）•（1-tanβ）=2；
②已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（2，λ），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是λ＜1；
③已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，λ∈（0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的重心；
④在△ABC中，∠A=60°，邊長a，c分別為$a=4，c=3\sqrt{3}$，則△ABC只有一解；
⑤如果△ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，且$2R（{sin^2}A-{sin^2}C）=（\sqrt{2}a-b）sinB$，則△ABC的面積的最大值$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}{R^2}$；
其中真命題的序號為①③⑤．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）當(dāng)a=1，b=0時，判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當(dāng)a=1，b=1時，若f（2x）=$\frac{5}{4}$，求x的值；
（3）若b=-1且對任何x∈（0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．為迎接2016年“猴”年的到來，某電視臺舉辦猜獎活動，參與者需先后回答兩道選擇題，問題A有三個選項，問題B有四個選項，每題只有一個選項是正確的，正確回答問題A可獲獎金1千元，正確回答問題B可獲獎金2千元．活動規(guī)定：參與者可任意選擇回答問題的順序，如果第一個問題回答正確，則繼續(xù)答題，否則該參與者猜獎活動終止．假設(shè)某參與者在回答問題前，選擇每道題的每個選項的機會是等可能的．
（Ⅰ）如果該參與者先回答問題A，求其恰好獲得獎金1千元的概率；
（Ⅱ）試確定哪種回答問題的順序能使該參與者獲獎金額的期望值較大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn=n2，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．已知a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n-1）•3n+1+3．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)（an+1）•log3bn+2•cn=1，求證：數(shù)列{cn}的前n項和Tn＜$\frac{3}{8}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．已知復(fù)數(shù)z=2i（1-i）（i為虛數(shù)單位），z的共軛復(fù)數(shù)為$\overline{z}$，則$z+\overline{z}$=（　�。�
A．4iB．-4iC．4D．-4

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