Question

3．如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐S-A₁B₁C₁和一個所有棱長都相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁組合而成，且該幾何體的外接球（幾何體的所有頂點都在該球面上）的表面積為7π，則三棱錐S-A₁B₁C₁的體積為$\frac{\sqrt{21}-3}{8}$．

Answer 1

分析 外界球的球心在棱柱上下底面中心連線的中點上，利用勾股定理求出棱柱的棱長，得出三棱錐的高．

解答 解：設(shè)幾何體的外接球半徑為r．則4πr²=7π，∴r=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
作出三棱柱上下底面的中心連線OO₁，則外接球球心為OO₁的中點M，
設(shè)正三棱柱的棱長為x，則OM=$\frac{x}{2}$，OC=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}x$=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$．MC=r=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴${（{\frac{x}{2}}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}）^2}=\frac{7}{4}$，解得$x=\sqrt{3}$，
∴三棱錐S-A₁B₁C₁的高h=r-$\frac{x}{2}$=$\frac{{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}{2}$，
故${V_{S---{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{21}-3}}{8}$
故答案為：$\frac{\sqrt{21}-3}{8}$．

點評 本題考查了多面體與外接球的關(guān)系，棱錐的體積計算，屬于中檔題．