Question

20．函數(shù)f（x）=x²+ax+b，其中a∈R，b∈R且（b+4）²-a²=4，已知對任意的x∈R不等式f（x）≥-2恒成立．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+x+4，x＜f（x）}\\{f（x）-x，x≥f（x）}\end{array}\right.$，求g（x）的值域；
（3）是否存在實數(shù)m，n使得不等式m≤f（x）≤n的解集為[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式f（x）≥-2恒成立，得出△=a²-4（b+2）≤0，求解即可；
（2）對分段函數(shù)分別討論，結合單調性逐步求出函數(shù)的值域，最后求并集即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質，結合題意可知當m=-2，n=2時符合題意，故存在．

解答 解：（1）對任意的x∈R不等式f（x）≥-2恒成立即x²+ax+b+2對任意x∈R恒成立，只要
△=a²-4（b+2）≤0即可，
又（b+4）²-a²=4，故-4+（b+4）²-4（b+2）≤0即b²+4b+4≤0，
即（b+2）²≤0，又（b+2）²≥0，故b=-2，
此時a=0，
綜上所述，a=0，b=-2；    
（2）x＜f（x）=x²-2得x²-x-2＞0，則x＜-1或x＞2或．
因此x≥f（x）=x²-2的解為-1≤x≤2．
于是g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜-1或x＞2}\\{{x}^{2}-x-2，-1≤x≤2}\end{array}\right.$       
當x＜-1或x＞2時，g（x）=x²+x+2在（-∞，-1）時單調遞減，g（x）＞2，
g（x）在（2，+∞）上單調遞增，g（x）＞8
因此x＜-1或x＞2時，g（x）＞2．               
當-1≤x≤2時，g（x）=x²-x-2在[-1，$\frac{1}{2}$]上單調遞減，在[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞增，
所以-$\frac{9}{4}$≤g（x）≤0．．                           
綜上所述，g（x）的值域是[-$\frac{9}{4}$，0]∪（2，+∞）；
（3）f（x）=x²-2，
∵f（-2）=2，f（2）=2，f（0）=-2，
∴當x∈[-2，2]時，f（x）∈[-2，2]，
故滿足題意，
∴m=-2，n=2成立．

點評 考查了二次函數(shù)的性質，分段函數(shù)值域的求解問題和對函數(shù)定義域值域的深刻理解．