Question

14．已知拋物線x²=4y焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B，C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）求|FA|+|FB|+|FC|；
（2）若直線AB交y軸于點(diǎn)D（0，b），求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義和向量的坐標(biāo)表示，可得所求和；
（2）顯然直線AB斜率存在，設(shè)為k，則直線AB方程為y=kx+b，代入拋物線的方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，求出C的坐標(biāo)，代入拋物線的方程，可得b的范圍，討論b=1不成立，即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
由拋物線x²=4y得焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），
所以$\overrightarrow{FA}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{FB}$=（x₂，y₂-1），$\overrightarrow{FC}$=（x₃，y₃-1），
所以由$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0}\\{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}-3=0}\end{array}\right.$，（*）
（1）易得拋物線準(zhǔn)線為y=-1，
由拋物線定義可知|FA|=y₁+1，|FB|=y₂+1，|FC|=y₃+1，
所以|FA|+|FB|+|FC|=y₁+y₂+y₃+3=6；
（2）顯然直線AB斜率存在，設(shè)為k，則直線AB方程為y=kx+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$消去y得：x²-4kx-4b=0，
所以△=16k²+16b＞0即k²+b＞0…①
且x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=4k²+2b，
代入式子（*）得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=-4k}\\{{y}_{3}=3-4{k}^{2}-2b}\end{array}\right.$又點(diǎn)C也在拋物線上，
所以16k²=12-16k²-8b，即k²=$\frac{3-2b}{8}$…②，
由①，②及k²≥0可解得$\left\{\begin{array}{l}{3-2b≥0}\\{3+6b＞0}\end{array}\right.$ 即-$\frac{1}{2}$＜b≤$\frac{3}{2}$，
又當(dāng)b=1時，直線AB過點(diǎn)F，此時A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，由$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
得$\overrightarrow{FC}$與$\overrightarrow{FA}$共線，即點(diǎn)C也在直線AB上，此時點(diǎn)C必與A，B之一重合，
不滿足點(diǎn)A，B，C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，所以b≠1，
所以實數(shù)b的取值范圍為（-$\frac{1}{2}$，1）∪（1，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時考查向量共線和坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．