Question

如圖，拋物線E:的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)作于點(diǎn).當(dāng)時(shí)， .

（Ⅰ）求拋物線E的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作直線，求直線與拋物線E的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）點(diǎn)C是的外心，是否存在點(diǎn)，使得的面積最小.若存在，請(qǐng)求出面積的最小值及P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，

，  1分

中，，  2分

.，即 ，       3分

拋物線E的方程：，      4分

（也可由余弦定理求得，在中，，即）

(Ⅱ) 解法一：當(dāng)點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，直線的方程：與拋物線E切于點(diǎn)；

設(shè)，則，，，，      5分

直線，化簡得：，

代入得，   6分

，（），       7分

直線與拋物線E有且只有一個(gè)交點(diǎn).     8分

解法二：由(Ⅰ)得，設(shè)，則，      5分

，，直線，即，     6分

代入中，得，  7分

，直線與拋物線E有且只有一個(gè)交點(diǎn). 8分

（Ⅲ）解法一：由已知得DP的中垂線：，與直線:聯(lián)立，

得到圓心C的縱坐標(biāo)，    9分

，

又，則，    10分

不妨設(shè)（），

，    11分

由得，由得，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值；

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)， 12分

取得最小值.   13分

解法二：由(Ⅱ)得DP的中垂線：，又直線:垂直平分，

圓心C的縱坐標(biāo)：，       9分

，又，

則， 10分

不妨設(shè)（），

，      11分

在遞減，在遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值；

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)， 12分

取得最小值.       13分

解法三：設(shè)外接的圓C半徑為，，不妨設(shè)，

，,      9分

由正弦定理得：，

，又，

，則.    10分

以下解法同上.