Question

18．在直角坐標系平面中，已知點P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整數(shù)，對于平面上任意一點A₀，記A₁為A₀關(guān)于點P₁的對稱點，A₂為A₁關(guān)于點P₂的對稱點，…，A_n為A_n-1關(guān)于點P_n的對稱點，則對任意偶數(shù)n，用n表示向量$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$的坐標為（　　）

• A． （n，$\frac{4（{2}^{n}-1）}{3}$）
• B． （n，$\frac{{2}^{n+2}}{3}$）
• C． （$\frac{n}{2}$，$\frac{2（{2}^{n}-1）}{3}$）
• D． （$\frac{n}{2}$，$\frac{{2}^{n+1}}{3}$）

Answer 1

分析 設(shè)n為任意偶數(shù)，通過$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{2}}$+$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{4}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{n-2}{A}_{n}}$，轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$+$\overrightarrow{{P}_{3}{P}_{4}}$$+…+\overrightarrow{{P}_{n-1}{P}_{n}}$，利用坐標運算求解即可．

解答 解：設(shè)n為任意偶數(shù)，則$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{2}}$+$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{4}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{n-2}{A}_{n}}$，
由條件可知$\overrightarrow{{A}_{2k-2}{A}_{2k}}$=2$\overrightarrow{{P}_{2K-1}{P}_{2K}}$，所以$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$=2（$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$+$\overrightarrow{{P}_{3}{P}_{4}}$$+…+\overrightarrow{{P}_{n-1}{P}_{n}}$）=2[（1，2）+（1，2³）+…+（1，2^n-1）]=2$（\frac{n}{2}，\frac{2（{2}^{n}-1）}{3}）$=$（n，\frac{4（{2}^{n}-1）}{3}）$．
故選：A．

點評 本題考查向量的坐標運算，數(shù)列求和，考查計算能力．