Question

3．設各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n滿足2S_n²-（3n²-n-4）S_n-2（3n²-n）=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）令b_n=$\frac{3}{{a}_{n}+2}$，證明：對一切正整數(shù)n，有b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1＜1．

Answer 1

分析 （1）通過令n=1，結合數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，計算即得結論；
（2）通過對2S_n²-（3n²-n-4）S_n-2（3n²-n）=0變形可知（S_n+2）[2S_n-（3n²-n）]=0，通過a_n＞0可知S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，利用當n≥2時a_n=S_n-S_n-1計算即得結論；
（3）通過裂項可知$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進而并項相加即得結論．

解答 （1）解：令n=1，得S₁²-S₁-2=（S₁+2）（S₁-1）=0，
因為數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，
所以S₁=1，即a₁=1；
（2）解：由2S_n²-（3n²-n-4）S_n-2（3n²-n）=0得（S_n+2）[2S_n-（3n²-n）]=0，
因為a_n＞0，
所以S_n＞0，從而S_n+2＞0，
所以S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=3n-2，
當n=1時，a₁=1滿足上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3n-2；
（3）證明：因為b_n=$\frac{3}{{a}_{n}+2}$=$\frac{3}{3n-2+2}$=$\frac{1}{n}$，
所以$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
所以b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，裂項求和是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．