Question

3．已知數(shù)列{a_n}，并且a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-5xn+8，n≤5且n{∈N}^{*}}\\{（x-23{）log}_{2}（n-4），n＞5且n{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，若{a_n}是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是[2，23）．

Answer 1

分析 當(dāng)n≤5，且n∈N^*時(shí)，${a}_{n}={n}^{2}-5xn+8$，由{a_n}是遞減數(shù)列，得$\frac{5x}{2}≥5$；當(dāng)n＞5且n∈N^*時(shí)，a_n=（x-23）log₂（n-4），由{a_n}是遞減數(shù)列，得x-23＜0．由此能求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答 解：∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-5xn+8，n≤5且n{∈N}^{*}}\\{（x-23{）log}_{2}（n-4），n＞5且n{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)n≤5，且n∈N^*時(shí)，${a}_{n}={n}^{2}-5xn+8$，
∵{a_n}是遞減數(shù)列，∴$\frac{5x}{2}≥5$，解得x≥2．
當(dāng)n＞5且n∈N^*時(shí)，a_n=（x-23）log₂（n-4），
∵{a_n}是遞減數(shù)列，∴x-23＜0，解得x＜23，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是[2，23）．
故答案為：[2，23）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的二次函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．