Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，其前n項和為S_n，且（n-1）S_n-nS_n-1=n²-n（n≥2）．
（1）證明數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列，并求出S_n；
（2）求f（n）=（1-

1

S2

）（1-

1

S3

）…（1-

1

Sn

）的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）n≥2，在(n-1)Sn-nSn-1=n2-n等式的兩邊同時除以n²-n，得

Sn

n

-

Sn-1

n-1

=1，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由1-

1

Sn

=

n-1

n

×

n+1

n

，f（n）=

n+1

2n

=

1

2

+

1

2n

．利用其單調(diào)性即可得出．

解答： （1）證明：∵n≥2，在(n-1)Sn-nSn-1=n2-n等式的兩邊同時除以n²-n，
得

Sn

n

-

Sn-1

n-1

=1，且

S1

1

=a1=1，
故{

Sn

n

}為以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

n

=1+(n-1)×1=n，
∴Sn=n2．
（2）∵1-

1

Sn

=1-

1

n2

=(1-

1

n

)(1+

1

n

)=

n-1

n

×

n+1

n

，
故f(n)=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

×…×

n-1

n

×

n+1

n

=

1

2

×

n+1

n

=

n+1

2n

=

1

2

+

1

2n

．
得f(n)=

1

2

+

1

2n

在n≥2，n∈N時為減函數(shù)．
故當(dāng)n=2時，f(n)max=f(2)=

3

4

，
∴f（n）的最大值為

3

4

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．