Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sinωx•cosωx-$\frac{1}{2}$cos²ωx的最小正周期為π，且f（x）為[0，$\frac{3π}{8}$]上的增函數(shù)，則ω的值為（　�。�

• A． ±1
• B． 1
• C． ±2
• D． 2

Answer 1

分析 利用降冪公式及輔助角公式化積，由周期公式求得ω=±1，然后分類分析，可得當ω=1時，f（x）為[0，$\frac{3π}{8}$]上的增函數(shù)；當ω=-1時，f（x）不是[0，$\frac{3π}{8}$]上的增函數(shù)得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$sinωx•cosωx-$\frac{1}{2}$cos²ωx=$\frac{1}{4}sin2ωx-\frac{1}{4}（1+cos2ωx）=\frac{1}{4}sin2ωxx-$$\frac{1}{4}cos2ωx-\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{4}sin（2ωx-\frac{π}{4}）-\frac{1}{4}$．
由T=$\frac{2π}{|2ω|}=π$，得ω=±1．
當ω=1時，f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{4}sin（2x-\frac{π}{4}）-\frac{1}{4}$，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，得：
$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ（k∈Z）$，當k=0時，[$-\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}$]為函數(shù)f（x）的增區(qū)間，滿足f（x）
為[0，$\frac{3π}{8}$]上的增函數(shù)；
當ω=-1時，f（x）=$-\frac{\sqrt{2}}{4}sin（2x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{4}$，
由x∈[0，$\frac{3π}{8}$]，得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}，π$]，不滿足f（x）為[0，$\frac{3π}{8}$]上的增函數(shù)．
故選：B．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．