Question

13．△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{2}$，∠A=135°，MN是BC邊的兩個三等分點，求cos＜$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$＞．

Answer 1

分析 建立直角坐標系，分別求出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$的坐標，代入向量數(shù)量積的運算公式，即可求出答案

解答 解：以A為坐標原點，AB、AB的垂線方向為x，y軸正方向建立坐標系，
∵AB=2，AC=$\sqrt{2}$，∠A=135°，
∴∠CAF=45°，
可得A（0，0），B（2，0），C（-1，1），
又∵MN是BC邊的兩個三等分點，
則M（1，$\frac{1}{3}$），N（0，$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（1，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AN}$=（0，$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=1×0+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，|$\overrightarrow{AM}$|=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，|$\overrightarrow{AN}$|=$\frac{2}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$＞=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{\frac{2}{9}}{\frac{\sqrt{10}}{3}×\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，將向量數(shù)量積的運算坐標化是解決問題的關鍵，屬中檔題．