Question

8．在△ABC中，已知tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，則以下結(jié)論正確的是（　�。�

• A． tanA•cotB=1
• B． 1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$
• C． sin²A+cos²B=1
• D． cos²A+cos²B=sin²C

Answer 1

分析 由已知式子變形可得A+B=90°，然后逐個(gè)選項(xiàng)判定即可得答案．

解答 解：∵tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，
∴$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A+B}{2}$，
整理求得cos（A+B）=0，
∴A+B=90°．
則tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，A不正確；
∴sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
∵45°＜A+45°＜135°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$，B不正確；
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
∴cos²A+cos²B=sin²C，D正確；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故C不正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．