Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，則數(shù)列{a_na _n+1}的前49項(xiàng)和為（　�。�

• A． $\frac{12}{25}$
• B． $\frac{49}{50}$
• C． $\frac{49}{100}$
• D． $\frac{49}{200}$

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得{a_n}的通項(xiàng)公式，代入a_na _n+1后，利用裂項(xiàng)相消法求得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，取倒數(shù)得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+2$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2$，
又$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=2+2（n-1）=2n$，${a}_{n}=\frac{1}{2n}$．
∴${a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{1}{4n（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
則a₁a₂+a₂a₃+…+a₄₉a₅₀=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}）$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{50}）=\frac{49}{200}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．