Question

拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；當(dāng)拋物線上點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|NF|=2，已知直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)
（1）求拋物線C的方程；
（2）若△AOB的面積為4，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線的定義及點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為1，得|NF|=

p

2

+yN=

p

2

+1，結(jié)合|NF|=2，求出p的值，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，代入拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式求出|AB|，再求出O到AB的距離，利用△AOB的面積為4，求出k的值，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）由已知得焦點(diǎn)F(0，

p

2

)，準(zhǔn)線方程為y=-

p

2

，
由拋物線的定義及點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為1，得|NF|=

p

2

+yN=

p

2

+1
又|NF|=2，
∴

p

2

+1=2∴p=2，
∴拋物線的方程為x²=4y（4分）
（2）依題意設(shè)直線l的方程為：y=kx+1（k必存在）

y=kx+1 x2=4y

⇒x2-4kx-4=0，…（6分）
則△=16k²+16＞0，
設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，…（8分）
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4(1+k2)…（10分）
∵O到AB的距離d=

1

k2+1

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=2

k2+1

=4，
∴k=±

3

，
∴直線方程為y=±

3

x+1…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查三角形面積的計(jì)算，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．