Question

16．函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$的最小值是5，此時x=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 把原函數(shù)解析式變成：y=$\sqrt{（x-4）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{{（x-0）}^{2}+（0-1）^{2}}$，問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)A（4，2）的距離與點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)B（0，1）的距離的和，利用兩點(diǎn)之間線段最短即可求y的最小值．

解答 解：∵y=$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$═$\sqrt{（x-4）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-0）^{2}+（0+1）^{2}}$，
設(shè)P（x，0），A（4，2），B（0，-1）；
∴y表示平面直角坐標(biāo)系中：點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（4，2）的距離與點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)B（0，-1）的距離的和；
如圖：
則|PA|+|PB|≥|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+（-1-2）^{2}}$=$\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$，
此時A，B，P三點(diǎn)共線，
即k_AB=k_BP，即$\frac{2+1}{4-0}$=$\frac{0+1}{x-0}$，
解得x=$\frac{4}{3}$，即P（$\frac{4}{3}$，0），
即y=$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$的最小值是5，此時x=$\frac{4}{3}$，
故答案為：5，$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，以及平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，將求函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化成求距離和的最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．