Question

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2?x，a∈R．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)y=f(x)的極值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)b∈(0,1)，使得當(dāng)x∈(?1,b]時，函數(shù)f(x)的最大值為f(b)？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）在x=1處取到極小值為，在x=0處取到極大值為0；（2）．

【解析】

試題分析：（1）將代入函數(shù)f(x)解析式，求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于零，求出其根；然后列出x的取值范圍與的符號及f(x)的單調(diào)性情況表，從表就可得到函數(shù)f(x）的極值；（2）由題意首先求得：，故應(yīng)按分類討論：當(dāng)a≤0時，易知函數(shù)f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減,從而當(dāng)b∈(0,1)時f(b)<f(0)，所以不存在實(shí)數(shù)b∈(0,1)，符合題意；當(dāng)a>0時，令有x=0或，又要按根大于零，小于零和等于零分類討論；對各種情況求函數(shù)f(x）x∈(?1,b]的最大值，使其最大值恰為f(b)，分別求得a的取值范圍，然而將所得范圍求并即得所求的范圍；若求得的a的取值范圍為空則不存在，否則存在．

試題解析：（1）當(dāng)時，，

則，化簡得（x>?1） 2分

列表如下：

x	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1,+)
	+	0	-	0	+
f(x)	增	極大值	減	極小值	增

 

∴函數(shù)f(x)在(?1,0)，(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，且f(0)=0，， 4分

∴函數(shù)y=f(x)在x=1處取到極小值為，

在x=0處取到極大值為0； 5分

（2）由題意

（1）當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減,

此時，不存在實(shí)數(shù)b∈(0,1)，使得當(dāng)x∈(?1,b]時，函數(shù)f(x)的最大值為f(b)； 7分

（2）當(dāng)a>0時，令有x=0或，

(ⅰ)當(dāng)即時，函數(shù)f(x)在和(0,+∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要存在實(shí)數(shù)b∈(0,1)，使得當(dāng)x∈(?1,b]時，函數(shù)f(x)的最大值為f(b)，則，代入化簡得 （1）

令，因恒成立，

故恒有，∴時，（1）式恒成立； 10分

（ⅱ）當(dāng)即時，函數(shù)f(x)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時由題，只需，解得，又，

∴此時實(shí)數(shù)a的取值范圍是； 12分

（ⅲ）當(dāng)時，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，

顯然符合題意； 13分

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 14分

考點(diǎn)：１．函數(shù)的極值；２．函數(shù)的最值；３．分類討論．