Question

2．已知拋物線C：y²=4x，直線l交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別為k₁，k₂，若k₁•k₂=-2，則△AOB面積的最小值為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)直線AB的方程為：x=my+b，與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、利用斜率公式得出直線AB過定點(diǎn)M（2，0），再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意可設(shè)直線AB的方程為：x=my+b．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為y²-4my-4b=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b．
∵直線OA，OB的斜率分別為k₁，k₂，k₁•k₂=-2．
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2．
∴y₁y₂=-8，
∴-4b=-8，
∴b=2．
因此直線AB過定點(diǎn)M（2，0）．
∴△AOB面積S=$\frac{1}{2}×2×$|y₁-y₂|=$\sqrt{16{m}^{2}+32}$
因此當(dāng)m=0時(shí)，△AOB的面積取得最小值4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率公式、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．