Question

4．已知A（3，$\sqrt{3}$），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}-y≤0}\\{x-\sqrt{3}+0≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，設(shè)Z為$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影，則Z的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• B． [-3，3]
• C． [-$\sqrt{3}$，3]
• D． [-3，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用向量投影的定義計(jì)算z的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)z表示向量$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$方向上的投影，
∴z=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$y，
即y=-$\sqrt{3}$x+2z，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線y=-$\sqrt{3}$x+2z，當(dāng)y=-$\sqrt{3}$x+2z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)直線y=-$\sqrt{3}$x+2z的截距最大，此時(shí)z最大，
當(dāng)y=-$\sqrt{3}$x+2z經(jīng)過點(diǎn)C（-2，0）時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最�。�此時(shí)z_min=$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y=0}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，即B（1，$\sqrt{3}$），
此時(shí)最大值z(mì)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故z的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．