Question

圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底半徑應(yīng)怎樣選取才能使所用材料最��？

Answer 1

思路分析：解這類有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題時(shí)，首先要把各個(gè)變量用字母表示出來，然后需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；接著運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解，所得結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義.也就是說最后要進(jìn)行檢驗(yàn).這里要使用料最省，就是使圓柱形的表面積最小，并且體積一定.

解：設(shè)圓柱的高為h,底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR².

∵V=πR²h,∴h=.?

∴S=S（R）=2πR·+2πR²=+2πR².

∵S′=S′（R）=-+4πR,令-+4πR=0,即4πR³-2V=0.

解得R=

∴h=====，

即h=2R.

∵當(dāng)0＜R＜時(shí)，S′＜0.

當(dāng)R＞時(shí)，S′＞0.

∴S（R）在R=處有極小值，?

且S_極小值=6π.

∵S（R）只有一個(gè)極值，故是最小值.

答：當(dāng)罐的高與底的直徑相等時(shí)，所用材料最省.

溫馨提示

在實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′（x）=0，如函數(shù)在這點(diǎn)有極值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最值，也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.