Question

20．在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a₅=32．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，求證S_n＜2．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得公比為2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)可得所求和，再由不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
由a₁=2，a₅=32，可得q⁴=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$=16，
解得q=2，
則a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（2）證明：b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
則前n項(xiàng)和記為S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
則S_n＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查不等式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．