Question

如圖,設有雙曲線,F1,F2是其兩個焦點,點M在雙曲線上．

(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面積;

(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面積是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面積又是多少?

(3)觀察以上計算結(jié)果,你能看出隨∠F1MF2的變化,△F1MF2的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結(jié)論．

 

 

Answer 1

(1) ; (2) , ; (3) θ增大時面積變小，證明過程見解析．

【解析】

試題分析：(1) 設,, 直角三角形△F1MF2中，利用雙曲線定義得,平方得，求得面積；(2) △F1MF2 中由余弦定理可得，|MF1|·|MF2|，由面積公式可得面積；(3) 由雙曲線定義與余弦定理，可得面積與θ的關系，所以θ增大時面積變�。�

【解析】
(1)由雙曲線方程知a=2,b=3,,

設, ()．

由雙曲線定義,有,兩邊平方得,

,

即,

也即,求得． 4分

(2)若∠F1MF2=60°,在△MF1F2中,

由余弦定理得,

,所以．

求得．

同理可求得若∠F1MF2=120°, ． 8分

(3)由以上結(jié)果猜想,隨著∠F1MF2的增大,△F1MF2的面積將減小．

證明如下:

令∠F1MF2=θ,則．

由雙曲線定義及余弦定理,有

②-①得,

所以,

因為0<θ<π,,

在內(nèi),是增函數(shù)，

因此當θ增大時, 將減�。� 12分

考點：雙曲線的定義，余弦定理，三角形面積公式．