Question

2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為x=-1，準線上位于x軸下方的一點為M，過點M及焦點F的直線l與C的一個交點為N，且F為線段MN的中點．
（1）求拋物線C及直線l的方程；
（2）若直線l與拋物線C的另一個交點為P（異于N），求線段PN的長．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，求出拋物線的方程，求出直線的斜率，即可求出直線l的方程；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，求出P，N的坐標，即可求線段PN的長．

解答 解：（1）∵拋物線C的準線為x=-1，∴$-\frac{p}{2}=-1$，∴p=2
∴拋物線C的方程為y²=4x…（2分）
∴拋物線C的焦點為F（1，0）…（3分）
設(shè)點N的橫坐標為x_N，∵F為線段MN的中點，∴$\frac{{-1+{x_N}}}{2}=1$，∴x_N=3，
易知點N的縱坐標${y_N}=2\sqrt{3}$，∴l(xiāng)的斜率為$\frac{{2\sqrt{3}-0}}{3-1}=\sqrt{3}$…5分）
∴直線l的方程為$y-0=\sqrt{3}（{x-1}）$，即$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$…（6分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0\\{y^2}=4x\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\sqrt{3}\end{array}\right.$…（8分）
即$P（{\frac{1}{3}，\;-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）\;\;，\;N（{3，\;2\sqrt{3}}）$…（10分）
∴$|PN|=\sqrt{{{（{\frac{1}{3}-3}）}^2}+{{（{-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}-2\sqrt{3}}）}^2}}=\frac{16}{3}$…（12分）

點評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．