Question

5．已知定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足下列兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=-x²+2x，記函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1），若函數(shù)g（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [1，2）
• B． [$\frac{4}{3}$，2）
• C． （$\frac{4}{3}$，2）
• D． [$\frac{4}{3}$，2]

Answer 1

分析 根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=-x²+2x，進(jìn)一步分別得到函數(shù)在（2，4]，（4，8]的解析式，在坐標(biāo)系在畫出f（x）的圖象，又y=k（x-1）的函數(shù)圖象是過定點(diǎn)（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可．

解答 解：因?yàn)閷?duì)任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，
且當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=-x²+2x，
f（x）=2[-（$\frac{x}{2}$^）2+x]=$-\frac{{x}^{2}}{2}+2x$，x∈（2，4]，
f（x）=4[-（$\frac{x}{4}$）²+$\frac{x}{2}$]=$-\frac{{x}^{2}}{4}+2x$，x∈（4，8]，
…
由題意得y=k（x-1）的函數(shù)圖象
是過定點(diǎn)P（1，0）的直線，
其中A（2，2），
B（4，4），
如圖所示直線與線段AB相交即可
（可以與B點(diǎn)重合但不能與A點(diǎn)重合），
k_PA=2，k_PB=$\frac{4}{3}$，
所以可得k的范圍為
$\frac{4}{3}$≤x＜2．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，是解決數(shù)學(xué)問題的必備的解題工具．