在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．   
（1）求sinB的值；
（2）若
BA
•
BC
=2，b=2
2
，求a和c的值．
考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用
專題：綜合題,解三角形
分析：（1）首先利用正弦定理化邊為角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB-2RsinCcosB，然后利用兩角和與差的正弦公式及誘導(dǎo)公式化簡求值即可．
（2）由向量數(shù)量積的定義可得accosB=2，結(jié)合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根據(jù)完全平方式易得a和c的值．
解答： 解：（1）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
則2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．
又sinA≠0，所以cosB=
1
3

因為B是△ABC的角
所以B∈[0，π]
所以sinB=
2
2
3

（2）由
BA
•
BC
=2，可得accosB=2，
因為cosB=
1
3
，所以ac=6，
由b2=a2+c2-2accosB，
可得a2+c2=12，
所以（a-c）2=0，即a=c，
所以a=c=
6
．
點(diǎn)評：本題考查了正弦定理、余弦定理、兩角和與差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、向量數(shù)量積的定義等基礎(chǔ)知識，考查了基本運(yùn)算能力．
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15
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2
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2
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3
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