Question

12．已知過定點(diǎn)（2，0）的直線l與曲線y=$\sqrt{2-{x^2}}$交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB面積最大時(shí)，直線的傾斜角是150^°．

Answer 1

分析 解法一：如圖所示，設(shè)直線l的傾斜角為α．設(shè)直線l的方程為：my=x-2，即x-my-2=0．（m＜-1）．原點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-fnuvocu^{2}}$．可得S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$2\sqrt{2}$$\sqrt{{m}^{2}-1+\frac{4}{{m}^{2}-1}+4}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解法二：△AOB為等腰直角三角形時(shí)，面積最大，S=1．|AB|=2，設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離d，利用d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，解得m，從而可得答案．

解答 解：解法一：如圖所示，設(shè)直線l的傾斜角為α．
設(shè)直線l的方程為：my=x-2，即x-my-2=0（m＜-1）．
原點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-lakditl^{2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$×2$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$=$2\sqrt{2}$$\sqrt{{m}^{2}-1+\frac{4}{{m}^{2}-1}+4}$．≥2$\sqrt{2}$$\sqrt{2\sqrt{4}+4}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)m²=3，即m=-$\sqrt{3}$，即tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=150^°時(shí)取等號(hào)．
故直線的傾斜角是：150^°．
解法二：設(shè)直線l的傾斜角為α．
設(shè)直線l的方程為：my=x-2，即x-my-2=0（m＜-1）．
△AOB為等腰直角三角形時(shí)，面積最大，$S=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1．∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}×2}$=2．
設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離d，∵$S=\frac{1}{2}×d×|AB|$，∴d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，解得m=$-\sqrt{3}$，
∴即tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=150^°時(shí)取等號(hào)．
故答案為：150^°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相交弦長問題、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．