12．已知過定點（2，0）的直線l與曲線y=√2−x2√2−x2交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△AOB面積最大時，直線的傾斜角是150°．
分析 解法一：如圖所示，設(shè)直線l的傾斜角為α．設(shè)直線l的方程為：my=x-2，即x-my-2=0．（m＜-1）．原點O到直線l的距離d=2√1+m22√1+m2，|AB|=2√r2−d0knfht2√r2−d0knfht2．可得S△AOB=1212d|AB|=2√22√2√m2−1+4m2−1+4√m2−1+4m2−1+4，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解法二：△AOB為等腰直角三角形時，面積最大，S=1．|AB|=2，設(shè)原點O到直線l的距離d，利用d=2√1+m22√1+m2=1，解得m，從而可得答案．
解答 解：解法一：如圖所示，
設(shè)直線l的傾斜角為α．
設(shè)直線l的方程為：my=x-2，即x-my-2=0（m＜-1）．
原點O到直線l的距離d=2√1+m22√1+m2，
|AB|=2√r2−vnqnk6w2√r2−vnqnk6w2=2√2√2√m2−1m2+1√m2−1m2+1．
∴S△AOB=1212d|AB|=1212×2√1+m22√1+m2×2√2√2√m2−1m2+1√m2−1m2+1=2√2√2×√m2−1（1+m2）2=2√2√m2−1+4m2−1+4．≥2√2√2√4+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)m2=3，即m=-√3，即tanα=-√33，α=150°時取等號．
故直線的傾斜角是：150°．
解法二：設(shè)直線l的傾斜角為α．
設(shè)直線l的方程為：my=x-2，即x-my-2=0（m＜-1）．
△AOB為等腰直角三角形時，面積最大，S=12×√2×√2=1．∴|AB|=√（√2）2×2=2．
設(shè)原點O到直線l的距離d，∵S=12×d×|AB|，∴d=2√1+m2=1，解得m=−√3，
∴即tanα=-√33，α=150°時取等號．
故答案為：150°．
點評 本題考查了點到直線的距離公式、直線與圓相交弦長問題、三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
