Question

12．已知圓C：x²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{27}{4}$經(jīng)過橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)F₁、F₂，點(diǎn)N為圓C與橢圓E的一個(gè)交點(diǎn)，且直線F₁N過圓心C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-3，求證：直線l過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：丨F₁N丨=3$\sqrt{3}$，根據(jù)中位線定理，即可求得丨NF₂丨=2丨OC丨=$\sqrt{3}$，利用橢圓的定義，即可求得a的值，代入圓的方程，即可求得c的值，即可求得橢圓方程；
（2）方法一：分類討論，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得t的值，即可證明直線l過定點(diǎn)P（2，0）；
方法二：同理，由圖形的對稱軸，直線l所過定點(diǎn)在x軸上，不妨設(shè)定點(diǎn)P（t，0）設(shè)直線l：y=k（x-2），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-3．

解答 解：（1）由題意可知：圓心為（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），半徑r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
直線F₁N過圓心C，則直線F₁N過圓心的直徑，則丨F₁N丨=3$\sqrt{3}$，
O，C分別為F₁N及F₁F₂N中點(diǎn)，則OC為△NDF₁F₂的中位線，
則丨NF₂丨=2丨OC丨=$\sqrt{3}$，
則2a=丨NF₂丨+丨NF₁丨=4$\sqrt{3}$，即a=2$\sqrt{3}$，
將F₂（c，0）代入圓方程，解得：c=$\sqrt{6}$，
則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$；
（2）證明：方法一：證明若直線l不平行x軸，這直線l：x=my+t，
則$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理得：（m²+2）y²+2mty+t²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△=12m²-8t²+96＞0，
則y₁+y₂=-$\frac{2mt}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-12}{{m}^{2}+2}$，
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=-3，
則$\frac{（{t}^{2}-12）（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$-$\frac{2{m}^{2}t（t-3）}{{m}^{2}+2}$+（t-3）²+3=0，
整理得：3t²-12t+12=0，解得：t=2，滿足△＞0，
直線l垂直y軸，設(shè)直線y=n，將y=n代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，
整理得：x²=12-12n²，則x₁x₂=12n²-12，x₁+x₂=0，
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=3n²-3=-3，解得：n=0，
即直線l也過定點(diǎn)P（2，0），
則直線l過定點(diǎn)P（2，0）．
方法二：證明：由圖形的對稱軸，直線l所過定點(diǎn)在x軸上，不妨設(shè)定點(diǎn)P（t，0）
若直線l垂直與x軸，直線l：x=t，代入橢圓方程，則A（t，$\frac{\sqrt{24-2{t}^{2}}}{2}$），B（t，-$\frac{\sqrt{24-2{t}^{2}}}{2}$）或A（t，-$\frac{\sqrt{24-2{t}^{2}}}{2}$），B（t，$\frac{\sqrt{24-2{t}^{2}}}{2}$），
由$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-3，則（t-3）²-$\frac{24-2{t}^{2}}{4}$=-3，整理得：t²-4t+4=0，解得：t=2，
（2）設(shè)直線l不垂直與x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x-2），
聯(lián)立方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-12}{1+2{k}^{2}}$，△=16（4k²+3）＞0
由$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（x₁-3）（x₂-3）+k²（x₁-2）（x₁-2），
=（1+k²）x₁x₂-（3+2k²）（x₁+x₂）+9+4k²，
=$\frac{（1+{k}^{2}）（8{k}^{2}-12）-（3+2{k}^{2}）•8{k}^{2}+（9+4{k}^{2}）（1+2{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
=$\frac{-3-6{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=-3，符合題意，
綜上可知：直線l恒過定點(diǎn)（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．