Question

2．△ABC中，三邊a、b、c成等比數(shù)列．求證：acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$≥$\frac{3}{2}$b．

Answer 1

分析 由已知可得b²=ac，把要證的不等式左邊降冪后利用余弦定理化角為邊，然后利用基本不等式證得答案．

解答 證明：∵a、b、c成等比數(shù)列，
∴b²=ac．
∴acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{a（1+cosC）}{2}+\frac{c（1+cosA）}{2}$
=$\frac{1}{2}（a+c）+\frac{1}{2}（acosC+ccosA）$
=$\frac{1}{2}（a+c）+\frac{1}{2}（a•\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$$+c•\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}）$
=$\frac{1}{2}（a+c）+\frac{1}{2}b≥\sqrt{ac}+\frac{2}$
=$b+\frac{2}=\frac{3}{2}b$．
∴acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$≥$\frac{3}{2}$b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，訓(xùn)練了余弦定理、基本不等式在解題中的應(yīng)用，是中檔題．