Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1，寫出a₁，a₂，a₃，s₁，s₂并推測a_n的表達式．

Answer 1

分析 通過在S_n+a_n=2n+1中令n=1、2、3計算即得所求值，通過S_n+a_n=2n+1與S_n+1+a_n+1=2（n+1）+1相減、變形可知a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），進而計算可得結(jié)論．

解答 解：∵S_n+a_n=2n+1，
∴當n=1時，有2a₁=2+1，即a₁=$\frac{3}{2}$，
∴當n=2時，有a₁+2a₂=4+1，即a₂=$\frac{7}{4}$，
∴當n=3時，有a₁+a₂+2a₃=6+1，即a₃=$\frac{15}{8}$，
∴S₁=a₁=$\frac{3}{2}$，
S₂=a₁+a₂=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{4}$=$\frac{13}{4}$，
猜想：a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
證明如下：
∵S_n+a_n=2n+1，
∴S_n+1+a_n+1=2（n+1）+1，
兩式相減得：2a_n+1-a_n=2，
整理得：a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），
又∵a₁=$\frac{3}{2}$，a₁-2=-$\frac{1}{2}$，
∴a_n-2=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．