Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E、F、G分別為PD、PC、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BDF；
（Ⅱ）求異面直線PB與EG所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）如圖所示，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OF．由底面ABCD為正方形，可得AO=OC，利用三角形中位線定理可得：OF∥PA，再利用線面平行的判定定理即可證明PA∥平面BFD．
（II）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用$cos＜\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{EG}＞$=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{EG}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{EG}|}$即可得出．

解答 （I）證明：如圖所示，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OF．
∵底面ABCD為正方形，∴AO=OC，
又PF=FC，∴OF∥PA，
而OF?平面BFD，PA?平面BFD，
∴PA∥平面BFD．
（II）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則D（0，0，0），B（2，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），G（1，2，0）．
$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{EG}$=（1，2，-1），
∴$cos＜\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{EG}＞$=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{EG}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{EG}|}$=$\frac{8}{\sqrt{{2}^{2}×3}\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴異面直線PB與EG所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、向量夾角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．