Question

6．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-（x+1）}^{2}+4p，x＜1}\\{lo{g}_{2}x，x≥1}\end{array}\right.$且f[f（$\sqrt{2}$）]=$\frac{7}{4}$
（Ⅰ）求實數p的值；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0有3個不同的解，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若x∈[-1，16]時，f（x）≤n+1恒成立，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用分段函數的解析式，可得f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$，解方程可得p=1；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，畫出圖象，f（x）-m=0有3個不同的解，即為y=f（x）與y=m有3個交點，由圖象觀察，即可得到所求m的范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當x∈[-1，16]時，f（x）∈[0，4]．由題意可得n+1≥f（x）_max=4，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f[f（$\sqrt{2}$）]=$\frac{7}{4}$，即f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$，
∴-（$\frac{1}{2}$+1）²+4p=$\frac{7}{4}$，∴p=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）^{2}+4，x＜1}\\{lo{g}_{2}x，x≥1}\end{array}\right.$，
其大致圖象如右：
f（x）-m=0有3個不同的解，即為y=f（x）與y=m有3個交點，
∴實數m的取值范圍為0＜m＜4；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當x∈[-1，16]時，f（x）∈[0，4]．
∵x∈[-1，16]時，f（x）≤n+1恒成立．
∴n+1≥f（x）_max=4，即有n≥3．
即實數n的取值范圍為[3，+∞）．

點評 本題考查分段函數的圖象和運用，考查不等式恒成立問題的解法，以及函數方程的轉化思想的運用，屬于中檔題．