Question

已知橢圓上的點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)的最大距離為，離心率，直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，橢圓上的點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)的最大距離為，離心率，可得求得a和b；（2）由（1）可得橢圓的方程，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），(ⅰ) 當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立；（ⅱ）當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1），代入橢圓的方程中整理得方程△＞0．由韋達(dá)定理可求得和的表達(dá)式，假設(shè)存在點(diǎn)P，使成立，則其充要條件為：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1+x2，y1+y2），代入橢圓方程；把A，B兩點(diǎn)代入橢圓方程，最后聯(lián)立方程求得c，進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720011945332369/SYS201411172001261098900343_DA/SYS201411172001261098900343_DA.016.png">在橢圓上，

將代入橢圓方程，得，即可求出k的值和P的坐標(biāo)以及l(fā)的方程．

【解析】
（1）由條件知，解得，

所以，故橢圓方程為．

（2）C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立．

由（Ⅰ）知C的方程為+=6．設(shè)

（�。┊�(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立．

（ⅱ）

將

于是 , =,

C 上的點(diǎn)P使成立的充要條件是，

設(shè)，則

所以 ．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720011945332369/SYS201411172001261098900343_DA/SYS201411172001261098900343_DA.016.png">在橢圓上，

將代入橢圓方程，得：，所以，

當(dāng)時(shí)，， ；

當(dāng)時(shí)，， ．

綜上，C上存在點(diǎn)使成立，

此時(shí)的方程為．

考點(diǎn)：1．直線與圓錐曲線的關(guān)系；2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．