Question

已知函數(shù)y=ax²+2x+3
（1）求在區(qū)間[0，2]上的最大值g（a）
（2）求g（a）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）討論a=0，a＞0，a＜0再分①當(dāng)0＜-

1

a

＜2即-

1

2

＜a＜0時(shí)，②當(dāng)-

1

a

≥2即a≤-

1

2

時(shí)，判斷單調(diào)區(qū)間，求出最大值；
（2）分別求出a≥0時(shí)，-

1

2

＜a＜0時(shí)，a≤-

1

2

，函數(shù)的值域，再求并集即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2x+3，區(qū)間[0，2]是增區(qū)間，則最大值g（a）=f（2）=7；
當(dāng)a＞0，對稱軸x=-

1

a

＜0，[0，2]為增區(qū)間，則最大值為g（a）=f（2）=4a+7，
當(dāng)a＜0時(shí)，對稱軸x=-

1

a

＞0，
①當(dāng)0＜-

1

a

＜2即-

1

2

＜a＜0時(shí)，則g（a）=f（-

1

a

）=3-

1

a

，
②當(dāng)-

1

a

≥2即a≤-

1

2

時(shí)，[0，2]為增區(qū)間，則g（a）=f（2）=4a+7．
∴g（a）=

4a+7，a≥0或- 1 2 ＜a＜0 3- 1 a ，a≤- 1 2

；
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，g（a）≥7；
當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，5＜g（a）＜7；
當(dāng)a≤-

1

2

，3＜g（a）≤5．
故函數(shù)g（a）的值域?yàn)椋?，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的值域和最值問題，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．