Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（1，-1）．
（Ⅰ）求$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
（Ⅱ）設(shè)向量$\overrightarrow c=x\overrightarrow a+{x^2}\overrightarrow b$，若$\overrightarrow b$與$\overrightarrow c$的夾角為鈍角，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的坐標，由模長公式可得；
（Ⅱ）可得向量$\overrightarrow{c}$的坐標，由$\overrightarrow b$與$\overrightarrow c$的夾角為鈍角可得$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$＜0，解不等式排除向量反向可得．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（1，-1），
∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（2，4）-（1，-1）=（1，5），
∴$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=$\sqrt{{1}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{26}$；
（Ⅱ）可得$\overrightarrow c=x\overrightarrow a+{x^2}\overrightarrow b$=（x+x²，2x-x²），
由$\overrightarrow b$與$\overrightarrow c$的夾角為鈍角可得$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=（x+x²）-（2x-x²）＜0，
解方程可得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
若向量反向則x+x²+2x-x²=0，解得x=0，
此時向量$\overrightarrow{c}$為$\overrightarrow{0}$，不滿足題意，
∴實數(shù)x的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查平面向量的夾角，涉及向量的模長公式，屬基礎(chǔ)題．