Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=be^x+c（a，b，c∈R），且g（x）的圖象在（0，g（x））外的切線方程為y=x+1，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）討論f（x）的極值情況；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，求證：?x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）-2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)定義域、導(dǎo)數(shù)，按照a≥0，a＜0兩種情況討論f′（x）的符號(hào)變化，由極值定義可得結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，令φ（x）=g（x）-f（x）-2=e^x-lnx-2，利用導(dǎo)數(shù)表示出φ（x）的最小值，只需說明最小值大于零即可．

解答： 解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=a+

1

x

（x＞0）．
當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，f（x）沒有極值；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)=

a(x+ 1 a )

x

，
若x∈(0，-

1

a

)，則f'（x）＞0；
若x∈(-

1

a

，+∞)，則f'（x）＜0，
∴f（x）存在極大值，且當(dāng)x=-

1

a

時(shí)，f(x)極大值=f(-

1

a

)=ln(-

1

a

)-1．
綜上可知：當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）沒有極值；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）存在極大值，且當(dāng)x=-

1

a

時(shí)，f(x)極大值=ln(-

1

a

)-1．
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）=be^x，
g'（0）=b．
∵g（0）=b+c，
∴

b+c=1 b=1，

∴g（x）=e^x．
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，
令φ（x）=g（x）-f（x）-2，則φ（x）=e^x-lnx-2，
∴φ′(x)=ex-

1

x

，且φ'（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
設(shè)φ′（x）=0的根為x=t，則et=

1

t

，即t=e^-t，
∵當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，t）上為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上為增函數(shù)，
∴φ(x)min=φ(t)=et-lnt-2=et-lne-t-2=et+t-2．
∵φ'（1）=e-1＞0，φ′(

1

2

)=

e

-2＜0，
∴t∈(

1

2

，1)，
由于函數(shù)ϕ（x）=e^x+x-2在(

1

2

，1)上為增函數(shù)，
∴φ(x)min=φ(t)=et+t-2＞e

1

2

+

1

2

-2＞

2.25

+

1

2

-2=0，
∴f（x）＜g（x）-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類整合思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力．注意認(rèn)真體會(huì)（Ⅱ）問中二次求導(dǎo)的應(yīng)用．