Question

8．用部分自然構(gòu)造如圖的數(shù)表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j個(gè)數(shù)（i，j∈N₊），使得a_i1=a_ii=i．每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和．設(shè)第n（n∈N₊）行的第二個(gè)數(shù)為b_n（n≥2）．
（1）寫出b_n+1與b_n的關(guān)系，并求b_n（n≥2）；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和為T_n，且滿足${c_1}=1，{c_n}=\frac{1}{{{b_n}-1}}，（{n≥2}）$，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b_n+1=b_n+n，n≥2，運(yùn)用累加法，即可得到b_n；
（2）求得n≥2時(shí)，c_n=$\frac{2}{n（n-1）}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和，由不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）由已知得b₂=2，b_n+1=b_n+n，n≥2，
當(dāng)n≥2時(shí)，b₃-b₂=2，b₄-b₃=3，…，b_n-b_n-1=n-1，
累加得b_n-b₂=2+3+…+n-1=$\frac{1}{2}$（n-2）（n+1），
則b_n=1+$\frac{1}{2}$n（n-1）（n≥2）；
（2）證明：由${c_1}=1，{c_n}=\frac{1}{{{b_n}-1}}，（{n≥2}）$，
由（1）可得n≥2時(shí)，c_n=$\frac{2}{n（n-1）}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
前n項(xiàng)和為T_n=1+2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=1+2（1-$\frac{1}{n}$）=3-$\frac{2}{n}$＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系和通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用累加法，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．