【題目】已知函數(shù)f(x)=2xlnx﹣x2.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程
(2)若方程f′(x)=a在[,+∞)有且僅有兩個(gè)實(shí)根(其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1) 2x﹣y﹣2=0;(2) (2,e2﹣1].
【解析】
(1)先求切點(diǎn)的縱坐標(biāo),再求導(dǎo),進(jìn)而求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,即切點(diǎn)處的斜率,代入點(diǎn)斜式方程可得切線方程;
(2)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f'(x),然后再求導(dǎo)得f'(x)在[,+∞)的單調(diào)性,求出最小值,進(jìn)而得與a有兩個(gè)根時(shí)的取值范圍.
(1)由函數(shù)f(x)=2xlnx﹣x2可知:f(1)=0,f'(x)=2(lnx+1)﹣1,
∴f'(1)=2,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程:y=2(x﹣1),
曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程:2x﹣y﹣2=0;
(2)由(1)得,f'(x)=2lnx+1,
f'(x),
當(dāng)x<1,f'(x)<0,f'(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>1,f'(x)>0,f'(x)單調(diào)遞增,
而f'()=﹣2+1+e2>0,最小值f'(1)=2>0時(shí),f(x)→+∞,
所以f'(x)=a有兩個(gè)根的取值范圍:(2,e2﹣1].
故實(shí)數(shù)a的取值范圍:(2,e2﹣1].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程以及曲線的參數(shù)方程;
(2)當(dāng)時(shí),為曲線上動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功,否則晉級(jí)失。
晉級(jí)成功 | 晉級(jí)失敗 | 合計(jì) | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合計(jì) |
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)?
(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談,記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(參考公式:,其中)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-(a+1)x+alnx+1
(Ⅰ)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的極大值;
(Ⅱ)求a的范圍,使得f(x)≥1恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地某所高中2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對(duì)比該?忌纳龑W(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考升學(xué)情況,得到如圖所示:則下列結(jié)論正確的( )
A.與2016年相比,2019年一本達(dá)線人數(shù)有所減少
B.與2016年相比,2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了1倍
C.與2016年相比,2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同
D.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線相交于,兩點(diǎn).
(1)求曲線與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo)(,);
(2)若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).下列命題為真命題的是( )
A.函數(shù)是周期函數(shù)B.函數(shù)既有最大值又有最小值
C.函數(shù)的定義域是,且其圖象有對(duì)稱軸D.對(duì)于任意,單調(diào)遞減
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系,直線過點(diǎn),且傾斜角為,以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的參數(shù)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與圓交于、兩點(diǎn),若,求直線的傾斜角的值.
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【題目】近一段時(shí)間來,由于受非洲豬瘟的影響,各地豬肉價(jià)格普遍上漲,生豬供不應(yīng)求。各大養(yǎng)豬場正面臨巨大挑戰(zhàn),目前各項(xiàng)針對(duì)性政策措施對(duì)于生豬整體產(chǎn)能恢復(fù)、激發(fā)養(yǎng)殖戶積極性的作用正在逐步顯現(xiàn).
現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場,均養(yǎng)有1萬頭豬.根據(jù)豬的重量,將其分為三個(gè)成長階段如下表.
豬生長的三個(gè)階段
階段 | 幼年期 | 成長期 | 成年期 |
重量(Kg) |
根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),兩個(gè)養(yǎng)豬場內(nèi)豬的體重均近似服從正態(tài)分布.
由于我國有關(guān)部門加強(qiáng)對(duì)大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬監(jiān)控力度,高度重視其質(zhì)量保證,為了養(yǎng)出健康的成年活豬,甲、乙兩養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式.已知甲、乙兩個(gè)養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為,.
(1)試估算各養(yǎng)豬場三個(gè)階段的豬的數(shù)量;
(2)已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬,若為健康合格的豬 ,則可盈利元,若為不合格的豬,則虧損元;乙養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬,若為健康合格的豬 ,則可盈利元,若為不合格的豬,則虧損元.記為甲、乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期豬所得的總利潤,求隨機(jī)變量的分布列,假設(shè)兩養(yǎng)豬場均能把成年期豬售完,求兩養(yǎng)豬場的總利潤期望值.
(參考數(shù)據(jù):若,則,,)
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