Question

20．在銳角△ABC中，a、b、c是角A、B、C所對(duì)的邊，且4sinB•sin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）+cos2B=1+$\sqrt{3}$
（1）求角B的度數(shù)；
（2）若S是該三角形的面積，a=8，S=10$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)已知等式，算出sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合B是△ABC的內(nèi)角可B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$；
（2）根據(jù)正弦定理的面積公式，算出邊c=5．再利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，代入數(shù)據(jù)即可算出邊b的值．

解答 解：（1）由4sinB•sin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）+cos2B=1+$\sqrt{3}$，
得2sinB•[1-cos（$\frac{π}{2}$+B）]+1-2sin²B=1+$\sqrt{3}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵B是△ABC的內(nèi)角，∴B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵a=8，S=10$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×8×c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$，解之得c=5
∵由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB
∴當(dāng)B=$\frac{π}{3}$時(shí)，b=$\sqrt{64+25-2×8×5×\frac{1}{2}}$=7；
當(dāng)B=$\frac{2π}{3}$時(shí)，b=$\sqrt{64+25-2×8×5×cos\frac{2π}{3}}$=$\sqrt{129}$．
即邊b的值等于7或$\sqrt{129}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角形中角B的三角等式，求角B的大小，并在已知面積的情況下求邊b．著重考查了三角恒等變換、正余弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．