Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x²-2af（x）（a∈R且a≠0）．
（1）若a=1，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（2）若f（x）＜g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題轉(zhuǎn)化為1+2a＜$\frac{{x}^{2}}{lnx}$在x∈（1，+∞）上恒成立，令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$（x＞1），通過求導(dǎo)得到函數(shù)h（x）的最小值，進(jìn)而求出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=x²-2lnx，x∈[1，2]，
∴g′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2}{x}$，
因?yàn)閤∈[1，2]，所以g′（x）≥0，
所以g（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，即x=1時(shí)，g（x）_min=g（1）=1，
（2）要使得f（x）＜g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即lnx＜x²-2alnx在x∈（1，+∞）上恒成立，
亦即1+2a＜$\frac{{x}^{2}}{lnx}$在x∈（1，+∞）上恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$（x＞1），則h′（x）=$\frac{2x•lnx-x}{{（lnx）}^{2}}$，
當(dāng)x∈（1，$\sqrt{e}$）時(shí)，2xlnx-x＜0，h′（x）＜0，
即h（x）在（1，$\sqrt{e}$）上為單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（$\sqrt{e}$，+∞）時(shí)，2xlnx-x＞0，h′（x）＞0，
即h（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
因此h（x）_min=h（$\sqrt{e}$）=2e，
所以要使得 1+2a＜$\frac{{x}^{2}}{lnx}$在x∈（1，+∞）上恒成立，
就有1+2a＜h（x）_min=2e，
∴a＜e-$\frac{1}{2}$，
∴a＜e-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＜g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立．

點(diǎn)評(píng) 不同考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．