Question

3．如圖，己知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，E是PD的中點，O是AC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）若MN=BC=4，PA=4$\sqrt{3}$，求異面直線PA與MN所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知推導出四邊形AMNE是平行四邊形，由此能證明MN∥平面PAD．
（2）連接MO，NO，推導出∠MNO就是PA與MN所成的角，由此能求出異面直線PA與MN所成的角的大小．

解答 證明：（1）∵P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，E是PD的中點，
∴EN∥CD，EN=$\frac{1}{2}CD$，AM∥CD，AM=$\frac{1}{2}CD$，
∴EN$\underset{∥}{=}$AM，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴MN∥AE，
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
解：（2）連接MO，NO，
∵MN=BC=4，PA=4$\sqrt{3}$，∴MO=$\frac{1}{2}BC$=2，NO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$PA=2$\sqrt{3}$，
∴∠MNO就是PA與MN所成的角，
在△MNO中，由余弦定理得cos∠MNO=$\frac{16+12-4}{2×4×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠MNO=30°．
∴異面直線PA與MN所成的角的大小為30°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．