Question

20．某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36．
（1）求樣本容量、頻率分布直方圖中的a；
（2）已知這批產(chǎn)品中每個(gè)產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與產(chǎn)品凈重x（單位：克）的關(guān)系式為$y=\left\{{\begin{array}{l}3，{96≤x＜98}\\ 5，{98≤x＜104}\\ 4，{104≤x＜106}\end{array}}\right.$，求這批產(chǎn)品的平均利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率和為1，列出方程求出a的值，再利用頻率=$\frac{頻數(shù)}{樣本容量}$求出樣本容量；
（2）根據(jù)題意求出這批產(chǎn)品中在[96，98）、[98，104）和[104，106]內(nèi)的數(shù)量，求出對(duì)應(yīng)的平均利潤(rùn)．

解答 解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率和為1，得；
（0.05+0.10+0.15+a+0.075）×2=1
解得a=0.125；
樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為（0.05+0.10）×2=0.3，
對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是36，
所以樣本容量為$\frac{36}{0.3}$=120；
（2）根據(jù)題意，這批產(chǎn)品中在[96，98）內(nèi)的數(shù)量為120×0.05×2=12，
在[98，104）內(nèi)的數(shù)量為120×（1-0.1-0.075×2）=90，
在[104，106]內(nèi)的數(shù)量為120×0.075×2=18，
又利潤(rùn)函數(shù)$y=\left\{{\begin{array}{l}3，{96≤x＜98}\\ 5，{98≤x＜104}\\ 4，{104≤x＜106}\end{array}}\right.$，
所以這批產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為$\overline{x}$=$\frac{1}{120}$（12×3+90×5+18×4）=4.65．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．