Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1

x+2

（x≠2，x∈R），數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=t（t≠-2，t∈R），a_n+1=f（a_n），（n∈N）
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，求t的值；
（Ⅱ）當(dāng)a₁=2時(shí)，記b_n=

an+1

an-1

（n∈N^*），證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，知a_n+1=a_n，解方程即得t的值；
（Ⅱ）由b_n=

an+1

an-1

（n∈N^*），由a_n+1=f（a_n）再化簡(jiǎn)整理，得b_n+1=3b_n，可證{b_n}是等比數(shù)列，先求出{b_n}的通項(xiàng)，再求通項(xiàng)公式a_n

解答： 解  （Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，∴a_n+1=a_n，即t=

2t+1

t+2

，解得t=-1，或t=1．
∴所求實(shí)數(shù)的值是1或-1．   
（Ⅱ）∵a₁=2時(shí)，記b_n=

an+1

an-1

，
∴b₁=3，b_n+1=

an+1+1

an+1-1

=

2an+1 an+2 +1

2an+1 an+2 -1

=3•

an+1

an-1

，
即b_n+1=3b_n．       
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=3為首項(xiàng)，公比為q=3的等比數(shù)列，于是b_n=3×3^n-1=3ⁿ（n∈N^*），
由b_n=

an+1

an-1

（n∈N^*），即

an+1

an-1

=3ⁿ（n∈N^*），
解得a_n=

3n+1

3n-1

．
∴所求的通項(xiàng)公式a_n=

3n+1

3n-1

．（n∈N^*）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了常數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及方程的思想，轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于中檔題