Question

13．已知橢圓C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上下兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過點F₁與y軸垂直的直線交橢圓C于M、N兩點，△MNF₂的面積為$\sqrt{3}$，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知O為坐標原點，直線l：y=kx+m與y軸交于點P（P不與原點O重合），與橢圓C交于A，B兩個不同的點，使得$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△MNF₂的面積為$\sqrt{3}$，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ 4{x^2}+{y^2}-4=0\end{array}\right.$得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0，由此利用韋達定理、根的判別式、向量知識，結合已知條件能求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)已知橢圓C的焦距為2c，當y=c時，$|MN|=|{x_1}-{x_2}|=\frac{{2{b^2}}}{a}$，
由題意△MNF₂的面積為$\frac{1}{2}|{F_1}{F_2}||MN|=c|MN|=\frac{{2{b^2}c}}{a}=\sqrt{3}$，
由已知得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴b²=1，∴a²=4，
∴橢圓C的標準方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．---（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ 4{x^2}+{y^2}-4=0\end{array}\right.$得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-2km}{{{k^2}+4}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}$，---（6分）
由已知得△=4m²k²-4（k²+4）（m²-4）＞0，即k²-m²+4＞0，
由$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，得-x₁=3x₂，即x₁=-3x₂，∴$3{（{x_1}+{x_2}）^2}+4{x_1}{x_2}=0$，---（8分）
∴$\frac{12{k}^{2}{m}^{2}}{（{k}^{2}+4）^{2}}+\frac{4（{m}^{2}-4）}{{k}^{2}+4}=0$，即m²k²+m²-k²-4=0．
當m²=1時，m²k²+m²-k²-4=0不成立，∴${k}^{2}=\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$，---（10分）
∵k²-m²+4＞0，∴$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}-{m}^{2}+4$＞0，即$\frac{（4-{m}^{2}）{m}^{2}}{{m}^{2}-1}＞0$，
∴1＜m²＜4，解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．
綜上所述，m的取值范圍為{m|-2＜m＜-1或1＜m＜2}．---（12分）

點評 本題考查橢圓方程求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、向量知識等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．