Question

已知f（x）=ka^-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（3，8）．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=

f(x)+1

f(x)-1

，求g（x）的奇偶性；
（3）若g（x）≥x²-4x+m在x∈[-2，2]時(shí)恒成立，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=k•a^-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點(diǎn)A（0，1），B（3，8），分別代入函數(shù)解析式，構(gòu)造關(guān)于k，a的方程組，解方程組可得實(shí)數(shù)k，a的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）由（1）求出函數(shù)g（x）=

f(x)+1

f(x)-1

的解析式，并根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得答案；
（3）求出函數(shù)y=f（x）在[-2，2]上的最小值，求出函數(shù)t（x）=x²-4x+m在x∈[-2，2]上的最大值，由函數(shù)y=f（x）在[-2，2]上的最小值大于等于函數(shù)t（x）=x²-4x+m在x∈[-2，2]上的最大值求解m的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=k•a^-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點(diǎn)A（0，1），B（3，8）．
∴k=1，且k•a^-3=8，解得k=1，a=

1

2

，
∴f（x）=2^x；
（2）函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，理由如下：
由（1）得f（x）=2^x，
∴函數(shù)g（x）=

f(x)+1

f(x)-1

=

2x+1

2x-1

，
則g（-x）=

2-x+1

2-x-1

=

1+2x

1-2x

=-

2x+1

2x-1

=-g（x）．
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)；
（3）∵f（x）=2^x，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，2x∈[

1

4

，4]，
函數(shù)t（x）=x²-4x+m在x∈[-2，2]上的最大值為t（-2）=12+m，
∴f（x）≥x²-4x+m在x∈[-2，2]時(shí)恒成立等價(jià)于

1

4

≥12+m，即m≤-

47

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．