Question

1．已知函數(shù)$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x+a$（a為常數(shù)）
（1）證明函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=kx-1，求a．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，配方即可得到f（x）的單調(diào)性；
（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程可得k，a的值．

解答 解：（1）證明：函數(shù)$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x+a$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=3x²-x+3=3（x-$\frac{1}{6}$）²+$\frac{35}{12}$，
可得f′（x）＞0恒成立，
即有函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增；
（2）由f′（x）=3x²-x+3，可得
函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為k=f′（1）=5，
切點(diǎn)為（1，a+$\frac{7}{2}$），即有a+$\frac{7}{2}$=5-1=4，
解得a=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和判斷單調(diào)性，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．