Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3ax+{a}^{2}-3，（x＜0）}\\{2{e}^{x}-（x-a）^{2}+3，（x＞0）}\end{array}\right.$，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點關于原點對稱，求a的范圍；
（Ⅲ）當x≥2時，記g（x）=f（x）+（x-a）²+（a-x）³-3+6e^x，若g（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，由f′（1）=0，求出a的值即可；
（Ⅱ）問題轉化為存在（-x_o，-y_o）在y=x²+3ax+a²-3的圖象上，構造出函數(shù)$h（x）=\frac{{2{e^x}}}{x}（{x＞0}）$，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可；
（Ⅲ）問題轉化為：8e^x+（a-x）³≥0在[2，+∞）恒成立，即$k（x）=2{e^{\frac{x}{3}}}-x（{x≥2}）$在[2，+∞）上單調遞增，求出k（x）的值域，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）x＞0時，f（x）=2e^x-（x-a）²+3，
f′（x）=2（e^x-x+a），（1分）
∵y=f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，即2（e-1+a）=0
解得：a=1-e，（2分）
經驗證滿足題意，
∴a=1-e．（3分）
（Ⅱ）y=f（x）的圖象上存在兩點關于原點對稱，
即存在y=2e^x-（x-a）²+3圖象上一點（x_o，y_o）（x_o＞0），
使得（-x_o，-y_o）在y=x²+3ax+a²-3的圖象上（4分）
則有$\left\{{\begin{array}{l}{{y_o}=2{e^{x_o}}-{{（{{x_o}-a}）}^2}+3}\\{-{y_o}=x_0^2-3a{x_o}+{a^2}-3}\end{array}}\right.$（5分）
消去y_o化簡得：$a=\frac{{2{e^{x_o}}}}{x_o}$，即關于x_o的方程在（0，+∞）內有解（6分）
設$h（x）=\frac{{2{e^x}}}{x}（{x＞0}）$，則${h^/}（x）=\frac{{2{e^x}（{x-1}）}}{x^2}$
∵x＞0∴當x＞1時，h′（x）＞0；當0＜x＜1時，h′（x）＜0
即h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)
∴h（x）≥h（1）=2e，且x→+∞時，h（x）→+∞；x→0時，h（x）→+∞
即h（x）值域為[2e，+∞），（7分）
∴a≥2e時，方程$a=\frac{{2{e^{x_o}}}}{x_o}$在（0，+∞）內有解
∴a≥2e時，y=f（x）的圖象上存在兩點關于原點對稱．（8分）
（Ⅲ）若g（x）≥0恒成立，即8e^x+（a-x）³≥0在[2，+∞）恒成立
?$8{e^x}≥{（{x-a}）^3}?2{e^{\frac{x}{3}}}-x≥-a$（9分）
記$k（x）=2{e^{\frac{x}{3}}}-x（{x≥2}）$${k^/}（x）=\frac{2}{3}{e^{\frac{x}{3}}}-1≥\frac{2}{3}•{e^{\frac{2}{3}}}-1＞0$，
$k（x）=2{e^{\frac{x}{3}}}-x（{x≥2}）$在[2，+∞）上單調遞增，
又x→+∞時，k（x）→+∞，
∴k（x）值域為$[{2{e^{\frac{2}{3}}}-2，+∞}）$（11分）
∴$-a≤2{e^{\frac{2}{3}}}-2⇒a≥2-2{e^{\frac{2}{3}}}$．（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．