Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），且當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=lg（x+

1

x

）
（1）求f（-1）的值；
（2）解不等式f（2-2x）＜f（x+3）；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=lg（

a

x

+2a）在（1，+∞）上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），且當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=lg（x+

1

x

），將x=-1，代入可求f（-1）的值；
（2）由已知可得f（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故原不等式可化為|2-2x-1|＜|x+3-1|，即|2x-1|＜|x+2|，解得答案；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=lg（

a

x

+2a）在（1，+∞）上有解，即x²-2ax+1-a=0在（1，+∞）上有解，分類討論滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），且當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=lg（x+

1

x

）
∴f(-1)=f(3)=lg

10

3

=1-lg3
（2）函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），
∴f（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且在（1，+∞）上單調(diào)遞增
故原不等式可化為|2-2x-1|＜|x+3-1|，
即|2x-1|＜|x+2|，得x∈(-

1

3

，3)
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=lg（

a

x

+2a）在（1，+∞）上有解，
即x²-2ax+1-a=0在（1，+∞）上有解
①在（1，+∞）上有兩等根，即

△=0 a＞1

，無(wú)解
②一根大于1，一根小于1，即1-2a+1-a＜0，得到a＞

2

3

③一根為1，則a=

2

3

，解得另一根為

1

3

，不符
綜上所述，a＞

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的單調(diào)性，方程的根，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，絕對(duì)值不等式，是函數(shù)，方程，不等式的綜合應(yīng)用，難度較大．