Question

7．設P是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一點，已知A（a，b），B（a，-b），若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（O為坐標原點），則λ²+μ²的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$ab
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$ab
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 確定A，B的坐標，根據(jù)$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，確定坐標之間的關系，可得4λμ=1，利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解：由題意，設P（x，y），則
∵$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
∴x=（λ+μ）a，y=（λ-μ）b
∵P為雙曲線C右支上的任意一點，
∴（λ+μ）²-（λ-μ）²=1
∴4λμ=1
∴λ²+μ²≥2λμ=$\frac{1}{2}$
∴λ²+μ²的最小值為$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查向量知識的運用，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．