Question

2．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a，M、N分別是棱A₁B、AC上的點(diǎn)，A₁M=AN．
（1）求證：MN∥平面BB₁C₁C；
（2）求MN的長的最小值．

Answer 1

分析 （1）以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN∥平面BB₁C₁C．
（2）由$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，0，a-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$），利用配方法能求出b=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$時(shí)，MN的長取最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

解答 證明：（1）以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)A₁M=AN=b，則M（a，$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，$\frac{\sqrt{2}b}{2}$），N（a-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，a），
$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，0，a-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$），
∵平面BB₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=0，又MN?平面BB₁C₁C，∴MN∥平面BB₁C₁C．
解：（2）∵$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，0，a-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$），
∴|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{\frac{2^{2}}{4}+（{a}^{2}-\sqrt{2}ab+\frac{2^{2}}{4}）}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-\sqrt{2}ab}$=$\sqrt{（b-\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+\frac{{a}^{2}}{2}}$，
∴b=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$時(shí)，MN的長取最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線段長的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．